曹老师好，之首要条件过问题，由于我采纳过早，目前细思仍有困惑：
Facebook is under increasing pressure to explain how data collected on 50m users were exploited for political gain,following claimsthat data firm Cambridge Analytical used the leaked information to help Donald Trump win the US presidency.
有老师回答following claim是介词，我仔细想了下，我感觉存在疑问，我觉得有2种说法。
（1）following claims 中following 是Facebook的非谓语动词，从句主语相同省略，等于独立主格？ 翻译为 ：脸书紧接着发言：CA公司用泄露的信息来帮助川普取得选举。
（2）following claims中following是形容词，following claims做political gain的同位语。
我如此理解，是由于该文章有一句话。
Facebook banned the data analytics company on Friday,three years after it first discovered it had broken its rules. 里面的three years 就是对Friday的讲解，我觉得这2句是相同的使用方法。
（3）使用方法为介词+名词；对于在一个完整句子逗号后面，再添加介词+名词的使用方法，我不大见到，可以普及下吗，谢谢老师！
Mikee老师的解答是正确的。
following在此按介词剖析是适当的。有些词典给出了following的介词词类，有些没。
比如 The Free Dictionary：
following：
prep.
Subsequentto;after:
Followingdinner,brandywasservedinthestudy.
asaresultof:
Hewasarrestedfollowingatip-off.
之所以要把following剖析为介词，是由于在有些句子中，following+宾语在句子中作状语，而following的逻辑主语并非句子的主语，而是句子谓语表示的动作或状况。比如上句，following a tip-off的逻辑主语并非句子的主语He，而是his being arrested这个动作。这种使用方法用目前分词不好讲解，于是就根据介词讲解了。
你的句子中，following=after 或者 as the result of. 比如：
as the result of claims that ... after claims that ...介词短语作缘由状语或时间状语。
你的二种理解都是不对的。